Cálculo 2

Seja bem-vindo à atividade MAPA da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. A presente atividade s e encontra dividida em três partes, em que você será desafiado a resolver um mesmo exercício de duas formas diferentes: a partir do cálculo da integral de linha para cada um dos caminhos e a partir do uso do Teorema de Green.

As integrais de linha sobre uma curva em um campo vetorial são uma ferramenta poderosa na análise matemática, frequentemente, aplicadas em Física e Engenharia para calcular trabalho, fluxo ou outras quantidades relacionadas ao movimento em sistemas dinâmicos. Quando consideramos um campo vetorial ao longo de uma curva em um plano bidimensional, por exemplo, as integrais de linha nos permitem calcular como o campo "se comporta" ao longo dessa curva específica.

O teorema de Green, formulado por George Green em 1828, estabelece uma relação fundamental entre integrais de linha e integrais duplas sobre uma região plana no plano xy. Em essência, o teorema de Green nos permite relacionar o comportamento local de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com o comportamento global desse campo dentro da região limitada por essa curva.

Vamos à atividade:

c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores? 

Uma região de integração pode ser conceituada como uma área delimitada em um plano cartesiano, na qual uma função é integrada em relação a uma ou mais variáveis. Enquanto muitas vezes pensamos em regiões de integração como sendo retangulares, com limites bem definidos tanto em x quanto em y, é importante destacar que essas regiões podem assumir formas mais complexas.

Uma região de integração não-retangular pode ser bem definida em ambas as direções, x e y. Além disso, podem ser do tipo 1 ou do tipo 2.

Sabendo disso, faça o que se pede:

a) Calcule 

∬𝐷(2𝑥−𝑦) 𝑑𝐴 na região 𝐷 compreendida pelas retas 𝑦=−𝑥+1, 𝑦=𝑥+1 e 𝑦=3.

b) Represente no Geogebra a região de integração triangular descrita em a).

Não se esqueça de demonstrar todos os cálculos.